Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC. a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A. b) Tam giác DHE là tam giác gì? Vì s
37
12/05/2024
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.
a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.
b) Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?
c) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh rằng BC = BD + CE.
Trả lời
Lời giải
a) Vì D đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của DH
nên AH = AD (1)
Vì E đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của HE
nên AH = AE (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AD = AE (3)
Mặt khác: \[\widehat {DBA} = \widehat {BAH}\]; \[\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\]
\[\widehat {BAH} = \widehat {HAC}\] = 90°
Do đó \[\widehat {DAB} + \widehat {BAH} + \widehat {HAC} + \widehat {CAE}\] = 180°
Tức là ba điểm D, A, E thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) suy ra D và E đối xứng với nhau qua A.
b) ∆ DHE có HA là trung tuyến và \[HA = \frac{1}{2}DE\] nên ∆DHE vuông tại H.
c) Ta có: ∆ADB = ∆AHB (c.c.c)
Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {AHB}\] = 90°
Tương tự có \[\widehat {AEC}\] = 90°
⇒ BD // CE (cùng vuông góc với DE)
Nên tứ giác BAEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE.
Do đó tứ giác BAEC là hình thang vuông.
d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD = BH (5)
Do AC là đường trung trực của EH nên CE = CH (6)
Cộng vế với vế của (5) và (6) ta suy ra BD + CE = BH + CH.
Hay BD + CE = BC.