Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. Kẻ các đường thẳng DD' // OA, EE' // OB, FF' // OC. Chứng minh các đường thẳng DD', EE', FF' đồng quy.

Trả lời

Lời giải

Gọi (Q) là đường thẳng Ơ-le, H là trực tâm, K là trung điểm AH, M là giao AH và BC.

Suy ra M, K, D ∈ (Q) 
Gọi P là đầu thứ hai đường kính qua A. 
Suy ra CP // BH (cùng ⊥ AC), BP // CH (cùng ⊥ AB)

Nên BPCH là hình bình hành 
Do đó HP cắt BC tại trung điểm BC, tức HP đi qua D ⇒ OD là đường trung bình của ∆PAH ⇒ OD = \[\frac{{AH}}{2}\] = AK 
⇒ AODK là hình bình hành ⇒ DK // AO ⇒ DD' trùng với DK 
Do đó DK là đường kính của (Q), tức DD' đi qua tâm đường thẳng Euler 

Vậy nên EE', FF' cũng đi qua tâm đường thẳng Euler.