Tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC nên AH ^ BC.

Ta có: $\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {HD} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {BH} } \right)$ (Do AH ^ BC và HD ^ AC)

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right)\overrightarrow {BH}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {BH} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {BH}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {BH}$ (Do AH ^ BC)

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {BH} } \right)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right)$ (Do M là trung điểm của BC)

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {AC} = 0$

Vậy AM vuông góc với BD