Ta có a²(b + c) = b²(c + a)

(a²b – b²a) + (a²c – b²c) = 0

ab(a – b) + c(a – b)(a + b) = 0

(a – b)(ab + bc + ac) = 0

ab + bc + ac = 0 (vì a ≠ b).

Lại có a²(b + c) = b²(c + a)

$\iff \frac{a^2}{a+c}=\frac{b^2}{b+c}=\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b$

⇒ a² = (a + c)(a + b)

Do đó 2012 = a²(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(ab + bc + ac + c²).

Vì ab + bc + ac = 0 nên c²(a + b) = 2012.

Vậy M = c²(a + b) = 2012.