Cho a; b; c thõa mãn: a + b + c = 2000 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}$  thì một trong ba số a; b; c phải có một số bằng 2000.

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}$

$\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\iff \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0$

$\iff \left(\frac{a+b}{ab}\right)+\left(\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0$

$\iff \frac{\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b\right)ab}{abc\left(a+b+c\right)}=0$

$\iff \frac{\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0$

$\iff \frac{\left(a+b\right)\left[c\left(a+b+c\right)+ab\right]}{abc\left(a+b+c\right)}=0$

$\iff \frac{\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2+ab\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0$

$\iff \frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}a+b=0\\ b+c=0\\ a+c=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}c=200\\ c=200\\ b=200\end{array}\right.$

Vậy một trong ba số a, b, c có một số bằng 2000.