Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.

Tìm giá trị lớn nhất của P = a² + b² + c² + 3$\sqrt {abc}$.

Lời giải

Ta có $P \le \sqrt {{a^2} + 2\sqrt a ab + 2{b^2}} + \sqrt {{b^2} + 2\sqrt 2 bc + 2{c^2}} + \sqrt {{c^2} + 2\sqrt 2 ca + 2{a^2}}$

\[P \le \sqrt {{{\left( {a + \sqrt 2 b} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {b + \sqrt 2 c} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {c + \sqrt 2 a} \right)}^2}} \]

$P \le {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\left( {a + b + c} \right) = 1 + \sqrt 2$

Dấu "=" xảy ra khi (a; b; c) = (0; 0; 1) và các hoán vị.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là $1 + \sqrt 2$ khi (a; b; c) = (0; 0; 1) và các hoán vị.