Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: a/(b+c-a) + b/(a+c-b) +c/(a+b-c) lớn hơn bằng 3

Trả lời

Đặt:  $\left\{\begin{array}{l}x=b+c-a\\ y=a+c-b\\ z=a+b-c\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)=2c\\ y+z=\left(a+c-b\right)+\left(a+b-c\right)=2a\\ x+z=\left(b+c-a\right)+\left(a+b-c\right)=2b\end{array}\right.$

Khi đó  $A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}$

 $\Rightarrow 2A=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}$

 $=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}$

 $=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}$

 $=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\left\{\begin{array}{l}b+c>a\\ a+c>b\\ a+b>c\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b+c-a>0\\ a+c-b>0\\ a+b-c>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ z>0\end{array}\right.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho  $\frac{y}{x},\frac{x}{y}$ với x, y > 0 ta có:

$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge 2\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{y}}=2$

Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được:

$\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge 2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge 2$

Do đó:

$2A=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge 2+2+2=6$

$\Rightarrow A=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge 3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z.

Suy ra: a = b = c.

Vậy  $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3$ khi a = b = c.