Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.

Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.

Trả lời

Lời giải

Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc

Û a3 + b3 + c33abc = 0

Û a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − (3a2b + 3ab2) + c33abc = 0

Û (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[(a + b)2 − (a + b).c + c2] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2 − 3ab] = 0

Û (a + b + c)[a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca] = 0          (*)

a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0.

Phương trình (*) trở thành:

a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0

Û 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0

Û (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) = 0

Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0

Vì (a − b)2; (b − c)2; (c − a)2 ≥ 0 nên

(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\).

Vậy ABC là tam giác đều.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả