Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b}$

Tính giá trị của biểu thức $P = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right)$.

Lời giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} = \frac{{a + b + b + c + c + a}}{{c + a + b}} = \frac{{2(a + b + c)}}{{(a + b + c)}} = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c\\b + c = 2{\rm{a}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c - b\\b + c = 2{\rm{a}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c - b\\b + c = 2(2c - b)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c - b\\b + c = 4c - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c - b\\3b = 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c - b\\b = c\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c - c\\b = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$

Khi đó P = (1 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 2. 2. 2 = 8

Vậy P = 8.