Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ \(\frac{3}{2}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a + b + c + \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\) .

Lời giải

Ta có:

P = a + b + c + \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)

P = 4a + 4b + 4c + \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\) – 3a – 3b – 3c

P = \(\left( {4a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {4c + \frac{1}{c}} \right)\)– 3(a + b + c)

Áp dụng bất dẳng thức Cô – si ta có:

4a + \(\frac{1}{a}\)≥ \(2\sqrt {\frac{{4a}}{4}} = 4\)

4b + \(\frac{1}{b}\)≥ \(2\sqrt {\frac{{4b}}{4}} = 4\)

4c + \(\frac{1}{c}\)≥ \(2\sqrt {\frac{{4c}}{4}} = 4\)

Suy ra  \(\left( {4a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {4c + \frac{1}{c}} \right)\)– 3(a + b + c) ≥ 4 + 4 + 4 – 3 . \(\frac{3}{2}\)

Hay P ≥ \(\frac{{15}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4{\rm{a}} = \frac{1}{a}\\4b = \frac{1}{b}\\4c = \frac{1}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{1}{4}\\{b^2} = \frac{1}{4}\\{c^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) (do a, b, c > 0).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{2}\) khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\).