Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ $\frac{3}{2}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a + b + c + $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Lời giải

Ta có:

P = a + b + c + $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

P = 4a + 4b + 4c + $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ – 3a – 3b – 3c

P = $\left( {4a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {4c + \frac{1}{c}} \right)$– 3(a + b + c)

Áp dụng bất dẳng thức Cô – si ta có:

4a + $\frac{1}{a}$≥ $2\sqrt {\frac{{4a}}{4}} = 4$

4b + $\frac{1}{b}$≥ $2\sqrt {\frac{{4b}}{4}} = 4$

4c + $\frac{1}{c}$≥ $2\sqrt {\frac{{4c}}{4}} = 4$

Suy ra  $\left( {4a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {4c + \frac{1}{c}} \right)$– 3(a + b + c) ≥ 4 + 4 + 4 – 3 . $\frac{3}{2}$

Hay P ≥ $\frac{{15}}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}4{\rm{a}} = \frac{1}{a}\\4b = \frac{1}{b}\\4c = \frac{1}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{1}{4}\\{b^2} = \frac{1}{4}\\{c^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.$ (do a, b, c > 0).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{15}}{2}$ khi a = b = c = $\frac{1}{2}$.