Cho a, b, c > 0 thỏa a² + b² + c² = 3. CMR: $\frac{a^3{b}^3}{c}+\frac{b^3{c}^3}{a}+\frac{a^3{c}^3}{b}\ge 3abc$

BĐT trên tương đương với việc chứng minh $a^4{b}^4+b^4{c}^4+a^4{c}^4\ge 3a^2{b}^2{c}^2$

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

$a^4{b}^4+b^4{c}^4\ge 2\sqrt{a^4{b}^4.b^4{c}^4}=2a^2{b}^4{c}^2$ (1)

$b^4{c}^4+c^4{a}^4\ge 2\sqrt{b^4{c}^4.c^4{a}^4}=2b^2{c}^4{a}^2$ (2)

$c^4{a}^4+a^4{b}^4\ge 2\sqrt{c^4{a}^4.a^4{b}^4}=2c^2{a}^4{b}^2$ (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

$$\begin{gathered} 2\left(a^4{b}^4+b^4{c}^4+a^4{c}^4\right)\ge 2\left(a^2{b}^4{c}^2+b^2{c}^4{a}^2+c^2{a}^4{b}^2\right) \\ \iff a^4{b}^4+b^4{c}^4+a^4{c}^4\ge a^2{b}^4{c}^2+b^2{c}^4{a}^2+c^2{a}^4{b}^2 \end{gathered}$$

$\iff a^4{b}^4+b^4{c}^4+a^4{c}^4\ge a^2{b}^2{c}^2\left(a^2+b^2+c^2\right)=3a^2{b}^2{c}^2$ (*)

Chia 2 vế của (*) với abc > 0 ta suy ra:

$\frac{a^3{b}^3}{c}+\frac{b^3{c}^3}{a}+\frac{a^3{c}^3}{b}\ge 3abc$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.