Cho a, b, c > 0 thỏa a² + b² + c² = 3. CMR:

$\frac{{{a^3}{b^3}}}{c} + \frac{{{b^3}{c^3}}}{a} + \frac{{{a^3}{c^3}}}{b} \ge 3abc$.

Lời giải

BĐT trên tương đương với việc chứng minh

${a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4} \ge 3{a^2}{b^2}{c^2}$

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

${a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} \ge 2\sqrt {{a^4}{b^4}.{b^4}{c^4}} = 2{a^2}{b^4}{c^2}$ (1)

${b^4}{c^4} + {c^4}{a^4} \ge 2\sqrt {{b^4}{c^4}.{c^4}{a^4}} = 2{b^2}{c^4}{a^2}$ (2)

${c^4}{a^4} + {a^4}{b^4} \ge 2\sqrt {{c^4}{a^4}.{a^4}{b^4}} = 2{c^2}{a^4}{b^2}$ (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

$2\left( {{a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4}} \right) \ge 2\left( {{a^2}{b^4}{c^2} + {b^2}{c^4}{a^2} + {c^2}{a^4}{b^2}} \right)$

$\Leftrightarrow {a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4} \ge {a^2}{b^4}{c^2} + {b^2}{c^4}{a^2} + {c^2}{a^4}{b^2}$

$\Leftrightarrow {a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4} \ge {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 3{a^2}{b^2}{c^2}$ (*)

Chia 2 vế của (*) với abc > 0 ta suy ra:

$\frac{{{a^3}{b^3}}}{c} + \frac{{{b^3}{c^3}}}{a} + \frac{{{a^3}{c^3}}}{b} \ge 3abc$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.