Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:  a^3/b + b^3/c + c^3/a lớn hơn bằng ab +bc +ca

Trả lời

Áp dụng BĐT Cô si với 3 số không âm ta có:

 $\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+a^2\ge \frac{3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^2}}{b^2}=3a^2$

$\begin{array}{l}\frac{b^3}{c}+\frac{b^3}{c}+b^2\ge 3b^2\\ \frac{c^3}{a}+\frac{c^3}{a}+c^2\ge 3c^2\\ \Rightarrow 2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+a^2+b^2+c^2\ge 3\left(a^2+b^2+c^2\right)\\ \Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\end{array}$

Mà a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca$