Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{2{\rm{a}}bc}}$

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Do đó:

$\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{\sqrt {bc} + \sqrt {ac} + \sqrt {ab} }}{{{\rm{2a}}bc}}$           (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Từ (*) và (**) suy ra

$\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{{\rm{2a}}bc}}$

Vậy $\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{2{\rm{a}}bc}}$ với a, b, c > 0.