Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{2{\rm{a}}bc}}\)

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Do đó:

\(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{\sqrt {bc} + \sqrt {ac} + \sqrt {ab} }}{{{\rm{2a}}bc}}\)           (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Từ (*) và (**) suy ra

\(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{{\rm{2a}}bc}}\)

Vậy \(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{2{\rm{a}}bc}}\) với a, b, c > 0.