Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰. Chứng minh rằng: A chia hết cho 3.

Ta ghép các số hạng của A thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng, ta được:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰.

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 2.(1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2¹⁷.(1 + 2 + 2² + 2³)

= (1 + 2 + 2² + 2³)(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

= (1 + 2 + 4 + 8)(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

= 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

Vì 15 ⋮ 3 nên 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷) ⋮ 3.

Vậy A ⋮ 3.