Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰. Chứng minh rằng:

a) A chia hết cho 2;

b) A chia hết cho 3;

c) A chia hết cho 5.

a) A chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 2.

b) Ta tách ghép các số hạng của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 3. Khi đó:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2¹⁹ + 2²⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) +… + 2¹⁹(1 + 2)

A = 3.(2 + 2³ + … + 2¹⁹)

Từ đó A chia hết cho 3

c) Tương tự câu b ta có:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

A = (2 + 2³) + (2² + 2⁴) + ... + (2¹⁸ + 2²⁰)

A = 5.(2 + 2² + 2⁵ … + 2¹⁸)

Từ đó A chia hết cho 5.