Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 +...+ 411. Chứng tỏ rằng: a) A chia hết cho 21;
Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 +...+ 411. Chứng tỏ rằng:
a) A chia hết cho 21;
b) A chia hết cho 105;
c) A chia hết cho 4097.
a) A=1 + 4 + 42 + 43 + ... +411
= (1 + 4 + 42) + (43 + 44 + 45) + (46 + 47 + 48) + (49 + 410 + 411)
= (1 + 4 + 42) + (43.1 + 43.4 + 43.42) + (46.1 + 46.4 + 46.42) + (49.1 + 49.4 + 49.42)
= (1 + 4 + 42).1 + 43.(1 + 4 + 42) + 46.(1 + 4 + 42) + 49.(1 + 4 + 42)
= 21.1 + 43.21 + 46.21 + 49.21
= 21.(1 + 43 + 46 + 49)
Suy ra A chia hết cho 21.
b) A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411
= (1 + 4 + 42 + 43 + 44 + 45) + (46 + 47 + 48 + 49 + 410 + 411)
= (1 + 4 + 42 + 43 + 44 + 45) + (46.1 + 46.4 + 46.42 + 46.43 + 46.44 + 46.45)
= (1 + 4 + 42 + 43 + 44 + 45).1 + 46.(1 + 4 + 42 + 43 + 44 + 45)
= 1365.1 + 46.1365
= 1365.1 + 46.1365
= 1365.(1 + 46)
Suy ra 1365 chia hết cho 105 nên A chia hết cho 105.