Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Hãy chứng minh các đẳng thức sau bằng nhiều cách khác nhau:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE}$;

b) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DF} = \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {CE}$.

Lời giải

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE}$

Cách 1.

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE}$

        $= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {DE}$

        $= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE}$.

Cách 2.

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} } \right)$

        $= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AE}$.

b) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DF} = \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {CE}$

Cách 1.

Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DF}$

        \[ = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {FE} \]

        $= \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {FE}$

        $= \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EF}$

        $= \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {FB}$.

Cách 2.

Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DF} - \overrightarrow {FB} - \overrightarrow {CE}$

           $= \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DF} } \right) - \overrightarrow {FB} - \overrightarrow {CE}$

           $= \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {FE} - \overrightarrow {FB} - \overrightarrow {CE}$

           $= \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FE} - \overrightarrow {FB} } \right)$

           $= \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {EE} = \overrightarrow 0$

Do đó $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DF} - \overrightarrow {FB} - \overrightarrow {CE} = \overrightarrow 0$