Lời giải
Theo đề, ta có x + y + z + 2 = xyz
⇔ (xy + yz + zx) + 2(x + y + z) + 3 = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1
⇔ (x + 1)(y + 1) + (y + 1)(z + 1) + (z + 1)(x + 1) = (xy + x + y + 1)(z + 1)
⇔ (x + 1)(y + 1) + (y + 1)(z + 1) + (z + 1)(x + 1) = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{z + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} = 1\).
Đặt \(a = \frac{1}{{x + 1}};\,\,b = \frac{1}{{y + 1}};\,\,c = \frac{1}{{z + 1}}\)
Khi đó ta có a + b + c = 1 và \(x = \frac{{1 - a}}{a} = \frac{{b + c}}{a};\,y = \frac{{1 - b}}{b} = \frac{{a + c}}{b};\,z = \frac{{1 - c}}{c} = \frac{{a + b}}{c}\).
Ta có \(x + y + z + 6 \ge 2\left( {\sqrt {yz} + \sqrt {zx} + \sqrt {xy} } \right)\).
\( \Leftrightarrow x + y + z + 6 \ge {\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2} - \left( {x + y + z} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {x + y + z + 3} \right) \ge {\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {x + y + z + 3} \right)} \ge \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {2\left[ {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right) + \left( {z + 1} \right)} \right]} \ge \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2a + 2b + 2c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} \ge \sqrt {\frac{{b + c}}{a}} + \sqrt {\frac{{a + c}}{b}} + \sqrt {\frac{{a + b}}{c}} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {\left[ {\left( {b + c} \right) + \left( {a + c} \right) + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} \ge \sqrt {\frac{{b + c}}{a}} + \sqrt {\frac{{a + c}}{b}} + \sqrt {\frac{{a + b}}{c}} \) (hiển nhiên theo bất đẳng thức Bunhiacopski)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = y = z = 2\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.