Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1.

Tìm GTNN của: \(P = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {2y + \frac{1}{y}} \right)^2}\).

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

\(P = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {2y + \frac{1}{y}} \right)^2} \ge \frac{{{{\left( {2x + \frac{1}{x} + 2y + \frac{1}{y}} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{{{\left[ {2\left( {x + y} \right) + \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)} \right]}^2}}}{2} \ge \frac{{{{\left( {2 + \frac{4}{{x + y}}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {2 + 4} \right)}^2}}}{2} = 18\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

Vậy GTNN của P = 18 khi \(x = y = \frac{1}{2}\).