Cho 2 điểm A(3; 0), B(0; 4). Phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất nội tiếp ∆OAB là ?

Phương trình đường thẳng AB là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0$

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b).

Đường trong (C) nội tiếp ∆OAB, suy ra (C) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc Ox, Oy, AB

⇒ R = d(I, Ox) = d(I, Oy) = d(I, AB)

$\Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| = \frac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {7a - 12} \right|$

TH1: Nếu a = b, ta có $\left| a \right| = \frac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {7a - 12} \right|$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a = 7a - 12}\\{5a = 12 - 7a}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{a = 1}\end{array}} \right.$

TH2: Nếu a – b, ta có $\left| a \right| = \frac{{\left| {4a - 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {a - 12} \right|$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a = a - 12}\\{5a = 12 - a}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{a = 2}\end{array}} \right.$

Vì (C) có bán kính nhỏ nhất nên chọn R = $\left| a \right| = 1$

Suy ra (C) có tâm I(1; 1) và R = 1 ⇒ (C): ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0$.