Ta có: P = $\frac{x}{1-x}+\frac{4}{x}=\frac{x}{1-x}+\frac{4-4x+4x}{x}=\frac{x}{1-x}+\frac{4\left(1-x\right)}{x}+4$

Vì 0 < x < 1 nên 1 – x > 0 ⇒ $\frac{x}{1-x}>0;$ $\frac{4\left(1-x\right)}{x}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho hai số không âm $\frac{x}{1-x}$  và  $\frac{4\left(1-x\right)}{x}$ ta có:

$\frac{x}{1-x}+\frac{4\left(1-x\right)}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{1-x}.\frac{4\left(1-x\right)}{x}}=4$

⇔ $\frac{x}{1-x}+\frac{4\left(1-x\right)}{x}+4\ge 8$

⇔ P ≥ 8

Dấu “=” xảy ra khi: $\frac{x}{1-x}=\frac{4\left(1-x\right)}{x}$ ⇔ x² = 4(x – 1)²

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=2x-2\\ x=-2x+2\end{array}\right.$   ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi x =  $\frac{2}{3}$