Biết hàm số $y=x^3+3m{x}^2+3\left(2m-1\right)x+1$  (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+6mx+3\left(2m-1\right)=3\left[x^2+2mx+2m-1\right]$

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1-2m\end{array}\right.$

Vì $y\left(-2\right)=-1;y\left(0\right)=1$  và theo bài ra $\underset{\left[-2;0\right]}{\max }y=6$  nên giá trị lớn nhất không đạt tại $x=-2;x=0$ . Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $y\left(-1\right)$   hoặc $y\left(1-2m\right)$ .

Ta có $y\left(-1\right)=-3m+3,y\left(1-2m\right)={\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)+1$

- Trường hợp 1: Xét $-3m+3=6\iff m=-1$

Thử lại với $m=-1$, ta có $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\in \left[-2;0\right]\\ x=3\notin \left[-2;0\right]\end{array}\right.$  nên $m=-1$  là một giá trị cần tìm.

- Trường hợp 2: Xét $\left\{\begin{array}{l}{\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)+1=6\\ -2<1-2m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)=5\left(1\right)\\ \frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vì $\frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}\Rightarrow m-2<0\Rightarrow {\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)<0$  nên (1) vô nghiệm

Chọn D