Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\sqrt{4-x^2}+x-\frac{1}{2}\right|+m$  bằng 18.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}+x-\frac{1}{2}$  liên tục trên tập xác định [-2; 2]

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1=0,x\in \left(-2;2\right)$

$\iff \sqrt{4-x^2}=x\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 4-x^2=x^2\end{array}\right.\iff x=\sqrt{2}\in \left(-2;2\right)$

$g\left(-2\right)=-\frac{5}{2};g\left(\sqrt{2}\right)=\frac{-1+4\sqrt{2}}{2};g\left(2\right)=\frac{3}{2}$

Do đó $\underset{\left[-2;2\right]}{\max }\left|g\left(x\right)\right|=\frac{5}{2}$  khi $x=-2$ , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{5}{2}+m$

Theo bài ra $\frac{5}{2}+m=18\iff m=15,5$  . Vậy $15<m<20$

Chọn D