Biến đổi $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}dx$ thành  $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt$, với  $t=\sqrt{1+x}$. Khi đó f (t) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. f (t) = 2t² − 2t;  

B. f (t) = t² + t;    

Đáp án đúng là: A

Đặt  $t=\sqrt{1+x}$ suy ra t² = 1 + x

Þ 2t dt = dx

Và x = t² − 1

Đổi cận  $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=1\\ x=3\Rightarrow t=2\end{array}\right.$, khi đó ta có:

$I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{t^2-1}{1+t}.2tdt=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}{1+t}.2tdt$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}2t\left(t-1\right)dt=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2t^2-2t\right)dt$

Þ f (t) = 2t² − 2t.