b) Qua D và A kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC lần lượt ở M và N. Chứng minh: MN = NC.

b) Ta có:

AD = AE (gt)

AB = AC (cmt)

Do đó theo định lí Ta lét đảo, ta có:

DE // BC Þ Tứ giác DECB là hình thang.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  (∆ABC vuông cân tại A)

Þ Tứ giác DECB là hình thang cân

Þ CD = BE (2 đường chéo của hình thang cân).

Mà BE = CI nên CD = CI.

Xét ∆CAD và ∆CAI có:

$\widehat{CAD}=\widehat{CAI}=90°$

CD = CI (cmt)

CA: cạnh chung

Þ ∆CAD = ∆CAI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Þ AD = AI (hai cạnh tương ứng).

Mà AD + AI = DI nên $AD=AI=\frac{DI}{2}$ .

Ta có:

• BE ^ DM và BE ^ AN Þ DM // AN

Theo định lí Ta lét ta có:$\frac{BD}{AD}=\frac{BM}{MN}$  (1)

• BE ^ DM và BE ^ CI Þ DM // CI

Theo định lí Ta lét ta có:   $\frac{BD}{DI}=\frac{BM}{MC}$

$\iff \frac{BD}{\frac{DI}{2}}=\frac{BM}{\frac{MC}{2}}\iff \frac{BD}{AD}=\frac{BM}{\frac{MC}{2}}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{BM}{MN}=\frac{BM}{\frac{MC}{2}}\iff MN=\frac{MC}{2}$

Mà N Î MC nên N là trung điểm của MC

Þ MN = NC.