b) Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G' là hình chiếu của G trên d thì các độ dài AA', BB', CC', GG' có liên hệ gì?

b)

Gọi BE là đường trung tuyến của của AC, M là trung điểm của BG.

Vẽ AA', BB', CC', II', MM' vuông góc với d.

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra

$$\begin{gathered} \frac{BG}{BE}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{BG}{GE}=2\Rightarrow \frac{2.MG}{GE}=2 \\ \iff \frac{MG}{GE}=1\Rightarrow \frac{MG}{ME}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Suy ra G là trung điểm của ME

M', G', E' là hình chiếu của M, G, E lên d

=> MM' // GG' // EE'

=> GG' là đường trung bình của hình thang vuông MM'E'E

Chứng minh tương tự ta có MM' là đường trung bình của hình thang vuông BB'G'G.

Và EE' là đường trung bình của hình thang vuông AA'C'C.

Khi đó ta có:

MM' + EE' = 2GG'

=> 2MM' + 2EE' = 4GG'

=> BB' + GG' + AA' + CC' = 4GG'

=> AA' + BB' + CC' = 3GG'