b) Giả sử $\widehat{AOB}=90°$ . Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND.

b) Đặt OH = x (x > 0).

Tam giác OMN vuông cân tại O có OH là đường trung tuyến.

Suy ra OH = MH = NH = x.

Do đó HD = HN + ND = HN + MN = HN + 2HN = 3HN = 3x.

Tam giác OMH vuông cân tại H: $OM=\sqrt{O{H}^2+M{H}^2}=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt{2}$ .

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác HOD vuông tại H, ta được:

OH² + HD² = OD².

⇔ x² + 9x² = R².

⇔ 10x² = R².

$\iff x^2=\frac{R^2}{10}$.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OMH vuông tại H, ta được:

$O{M}^2=O{H}^2+M{H}^2=x^2+x^2=2x^2=2.\frac{R^2}{10}=\frac{R^2}{5}$.

Vậy $OM=\frac{R}{\sqrt{5}}$ .