b) Biết $\widehat{BIM}$  = 90°. Ba cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với ba số nào?

b) vẽ đường tròn tâm M đường kính BC, BI cắt (M) tại N.

Ta thấy: $\widehat{BIM}=\widehat{BNC}$ = 90° suy ra MI // CN

Vì M là trung điểm BC nên I là trung điểm BN (1)

Dễ thấy: $\widehat{NIC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{NCI}$

Suy ra: tam giác NIC cân tại N hay NI = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\tan \frac{\widehat{ABC}}{2}=\tan \widehat{NBC}=\frac{NC}{NB}=\frac{NI}{NB}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\tan \widehat{ABC}=\frac{2\tan \frac{\widehat{ABC}}{2}}{1-{\tan }^2\frac{\widehat{ABC}}{2}}=\frac{4}{3}=\frac{AC}{AB}$

⇒$\frac{A{C}^2}{A{B}^2+A{C}^2}=\frac{16}{9+16}=\frac{16}{25}\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$

Vậy AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.