a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x² – 8x + 1.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B = –5x² – 4x + 1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{2}{{6x - 5 - 9{x^2}}}$.

Lời giải

a) A = 2x² – 8x + 1

= 2(x² – 4x + 4) – 7

= 2(x – 2)² – 7.

Ta có (x – 2)² ≥ 0, với mọi x.

⇒ 2(x – 2)² ≥ 0, với mọi x.

⇒ 2(x – 2)² – 7 ≥ –7, với mọi x.

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng –7 khi và chỉ khi x = 2.

b) B = –5x² – 4x + 1

$= - 5\left( {{x^2} + \frac{4}{5}x + \frac{4}{{25}}} \right) + \frac{9}{5}$

$= - 5{\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{9}{5}$.

Ta có ${\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} \ge 0$, với mọi x.

$\Rightarrow - 5{\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} \le 0$, với mọi x.

 $\Rightarrow - 5{\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{9}{5} \le \frac{9}{5}$, với mọi x.

Dấu “=” xảy ra ⇔ $x = - \frac{2}{5}$.

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng $\frac{9}{5}$ khi và chỉ khi $x = - \frac{2}{5}$.

c) $A = \frac{2}{{6x - 5 - 9{x^2}}}$

$= \frac{2}{{ - 9\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}} \right) - 4}}$

$= \frac{2}{{ - 9{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2} - 4}}$.

Ta có ${\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0$, với mọi x.

$\Rightarrow - 9{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0$, với mọi x.

$\Rightarrow - 9{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - 4 \le - 4$, với mọi x.

$\Rightarrow \frac{1}{{ - 9{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2} - 4}} \ge \frac{1}{{ - 4}}$, với mọi x.

$\Rightarrow \frac{2}{{ - 9{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2} - 4}} \ge \frac{2}{{ - 4}} = - \frac{1}{2}$, với mọi x.

Dấu “=” xảy ra ⇔ $x = \frac{1}{3}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng $- \frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $x = \frac{1}{3}$.