1) Tìm hệ số của x¹².y¹³ trong khai triển (2x + 3y)²⁵.

2) Tìm hệ số của x¹².y¹³ trong khai triển (x – y)²⁵.

3) Viết số hạng thứ 9 của khai triển \({\left( {2x - \frac{1}{y}} \right)^{13}}\).

Lời giải

1) Ta có số hạng tổng quát: \(C_{25}^k.{\left( {2x} \right)^{25 - k}}.{\left( {3y} \right)^k} = C_{25}^k{.2^{25 - k}}{.3^k}.{x^{25 - k}}.{y^k}\).

Ta cần tìm hệ số của x¹².y¹³.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}25 - k = 12\\k = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 13\).

Vậy hệ số của x¹².y¹³ trong khai triển (2x + 3y)²⁵ là \(C_{25}^{13}{.2^{12}}{.3^{13}}\).

2) Ta có số hạng tổng quát: \[C_{25}^k.{x^{25 - k}}.{\left( { - y} \right)^k} = C_{25}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{25 - k}}.{y^k}\].

Ta cần tìm hệ số của x¹².y¹³.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}25 - k = 12\\k = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 13\).

Vậy hệ số của x¹².y¹³ trong khai triển (x – y)²⁵ là \[C_{25}^{13}.{\left( { - 1} \right)^{13}} = - C_{25}^{13}\].

3) Ta có số hạng tổng quát: \(C_{13}^k.{\left( {2x} \right)^{13 - k}}.{\left( { - \frac{1}{y}} \right)^k} = C_{13}^k{.2^{13 - k}}.{x^{13 - k}}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{y^k}}}\).

Ta cần viết số hạng thứ 9.

Suy ra k = 8.

Vậy số hạng thứ 9 trong khai triển \({\left( {2x - \frac{1}{y}} \right)^{13}}\) là \(C_{13}^8{.2^5}.{x^5}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^8}}}{{{y^8}}} = 41184.\frac{{{x^5}}}{{{y^8}}}\).