Phép nhân đa thức một biến
Kiến thức cần nhớ
1. Nhân đơn thức với đơn thức
– Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:
+ Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;
+ Nhân luỹ thừa của biến A với luỹ thừa của biến đó trong B;
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
– Tổng quát: Với a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ ta có:
axm. bxn = a.b. xm. xn = abxm + n.
Ví dụ: Tính:
a) 3x2. 5x6;
b) – 4x3. 4x2;
c) 2xm + 2. xn – 2 (m, n ∈ ℕ, n > 2).
Hướng dẫn giải
a) 3x2. 5x6 = 3.5. x2. x6 = 15x2 + 6 = 15x8;
b) – 4x3. 4x2 = – 4.4. x3. x2 = –16x3 + 2 = –16x5;
c) 2xm + 2. xn – 2 = 2. xm + 2. xn – 2 = 2xm + 2 + n – 2 = 2xm + n.
2. Nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
A(B + C) = AB + AC
A(B – C) = AB – AC
Ví dụ: Tính:
a) x(2x + 1);
b) –2x2(2x2 + 2x – 1);
c) –2x3(x2 + 3x – 5).
Hướng dẫn giải
a) x(2x + 1) = x.2x + x.1 = 2x2 + x;
b) –2x2(2x2 + 2x – 1)
= –2x2.2x2 –2x2.2x –2x2.(–1)
= –4x4 – 4x3 + 2x2;
c) –2x3(x2 + 3x – 5)
= –2x3.x2 –2x3.3x – 2x3.(–5)= –x5 – 6x4 + 10x3.
3. Nhân đa thức với đa thức
– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
– Tích của hai đa thức là một đa thức.
– Sau khi thực hiện phép nhân hai đa thức, ta thường viết đa thức tích ở dạng thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần của biến.
Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6).
Hướng dẫn giải
Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6)
= 4x(2x2 – 5x + 6) – 3(2x2 – 5x + 6)
= 4x.2x2 – 4x.5x + 4x.6 – 3.2x2 – 3.(–5x) – 3.6
= 8x3 – 20x2 + 24x – 6x2 + 15x – 18
= 8x3 – 26x2 + 39x – 18
Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.
– Chúng ta có thể trình bày phép nhân đa thức theo cột dọc.
Chú ý: Khi thực hiện phép nhân hai đa thức theo cột dọc, các đơn thức có cùng số mũ (của biến) được xếp vào cùng một cột.
Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) theo cột dọc.
Hướng dẫn giải
Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = (2x2 – 5x + 6).(4x – 3)
Thực hiện phép nhân theo cột dọc như sau:
Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.
Các dạng bài tập phép nhân đa thức một biến
Bài tập (có đáp án)
1. Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm hệ số cao nhất của đa thức P(x) = (2x – 1)(3x2 – 7x + 5).
A. –5;
B. 17;
C. –17;
D. 6.
Đáp án đúng là: D
Ta có (2x – 1)(3x2 – 7x + 5)
= 2x.3x2 + 2x.(–7x) + 2x.5 – 1.3x2 – 1.(–7x) – 1.5
= 6x3 – 14x2 + 10x – 3x2 + 7x – 5
= 6x3 – 17x2 + 17x – 5
Vậy hệ số cao nhất của P(x) là 6.
Câu 2. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: P(x) = 5x2 – [4x2 – 3x(x – 2)] với x = 2.
A. P(x) = 4x2 – 6x; P(2) = 2;
B. P(x) = 4x2 + 6x; P(2) = 4;
C. P(x) = 4x2 – 6x; P(2) = 4;
D. P(x) = 4x2 + 6x; P(2) = 4;
Đáp án đúng là: C
Ta có P(x) = 5x2 – [4x2 – 3x(x – 2)]
= 5x2 – (4x2 – 3x2 + 6x)
= 5x2 – (x2 + 6x)
= 5x2 – x2 – 6x
= 4x2 – 6x
Thay x = 2 vào P(x) = 4x2 – 6x ta được:
P(2) = 4. 22 – 6. 2
= 4.4 – 6. 2
= 16 – 12
= 4.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 3. Biết 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84. Giá trị của x là:
A. x = 4;
B. x = 4,5;
C. x = 5;
D. x = 5,5.
Đáp án đúng là: D
Ta có: 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84
Suy ra 10x − 5 − 32 + 12x = 84
10x + 12x = 84 + 5 + 32
22x = 121
x = 5,5
Vậy x = 5,5.
Ta chọn phương án D.
Câu 4. Cho hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 5 đơn vị. Biểu thức tính diện tích hình chữ nhật là:
A. S = x2 + 5x;
B. S = 2(x2 + 5x);
C. S = 2x + 5;
D. S = x2 – 5x.
Đáp án đúng là: A
Gọi x (x > 0) là chiều rộng của hình chữ nhật
Theo giả thiết ta có chiều dài hình chữ nhật là x + 5
Diện tích hình chữ nhật là:
S = x(x + 5) = x2 + 5x (đvdt)
Ta chọn phương án A.
Câu 5. Cho biểu thức P(x) = x2(x2 + x + 1) – 3x(x – a) + 4. Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức bằng –2.
A. –1;
B. 1;
C. –2;
D. 2.
Đáp án đúng là: C
P(x) = x2(x2 + x + 1) – 3x(x – a) + 4
= x4 + x3 + x2 – 3x2 + 3ax + 4
= x4 + x3 – 2x2 + 3ax + 4
Ta có:
Hệ số của lũy thừa bậc 4 của x là 1;
Hệ số của lũy thừa bậc 3 của x là 1;
Hệ số của lũy thừa bậc 2 của x là –2;
Hệ số của lũy thừa bậc 1 của x là 3a;
Hệ số tự do là 4;
Tổng các hệ số của đa thức P(x) là:
1 + 1 + (–2) + 3a + 4 = 3a + 4
Do tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng –2 nên ta có:
3a + 4 = –2
Suy ra 3a = –6
Do đó a = –2
Ta chọn phương án C.
Câu 6. Với a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ ℕ; kết quả của phép tính axm. bxn bằng:
A. abxm + n;
B. abxm - n;
C. (a – b)xm;
D. (a + b)xm;
Đáp án đúng là: A
Ta có: axm. bxn
= a.b.xm.xn
= abxm + n (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ ℕ)
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 7. Tính 2x3. 5x4 ta thu được kết quả là:
A. 10x4;
B. 10x3;
C. 10x7;
D. 10x12.
Đáp án đúng là: C
Ta có: 2x3. 5x4
= 2. 5. x3. x4
= 10x3+4
= 10x7.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 8. Tính –4xm. 3xn + 1 (với m, n ∈ ℕ)ta thu được kết quả là:
A. –12xm + n + 1;
B. 12xm + n + 1;
C. 12xm.(n + 1);
D. –12xm.(n + 1).
Đáp án đúng là: A
Ta có: –4xm. 3xn + 1 (với m, n ∈ ℕ)
= (–4). 3. xm. xn + 1
= –12xm + n + 1.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 9. Tích 2x(x + 1) có kết quả bằng:
A. 2x2 + 2x;
B. 2x2 – 2x;
C. 2x + 2;
D. 2x2 – 2.
Đáp án đúng là: A
Ta có: 2x(x + 1)
= 2x.x + 2x.1
= 2x2 + 2x.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 10. Chọn câu đúng.
A. (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1;
B. (x – 1)(x + 1) = 1 – x2;
C. (x + 1)(x – 1) = x2 + 1;
D. (x2 + x + 1)(x – 1) = 1 – x2.
Đáp án đúng là: A
Ta có:
• (x – 1)(x + 1)
= x.x + x – x – 1
= x2 – 1
Do đó phương án B sai, C sai
• (x – 1)(x2 + x + 1)
= x.x2 + x.x + x.1 + (– 1).x2 + (–1). x + (– 1).1
= x3 + x2 + x – x2 – x – 1
= x3 – 1
Do đó phương án A đúng và D sai.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 11. Giả sử 3 kích thước của một hình hộp chữ nhật là x; x + 1; x – 1 (cm) với x > 1. Thể tích hình hộp chữ nhật này là:
A. x3 + x (cm3);
B. x3 – x (cm3);
C. x2 + x (cm3);
D. x2 – x (cm3);
Đáp án đúng là: B
Thể tích hình hộp chữ nhật:
V = x(x + 1)(x – 1)
= (x2 + x)(x – 1)
= x2.x – x2.1 + x.x – x.1
= x3 – x
Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là: V = x3 – x (cm3).
Câu 12. Cho hai hình chữ nhật như hình vẽ.
Đa thức theo biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là:
A. 5x2 + 17x + 8 ;
B. 5x2 + 9x + 2 ;
C. 5x2 + 17x – 2 ;
D. 5x2 – 9x – 2 .
Đáp án đúng là: B
Diện tích hình chữ nhật lớn là:
(3x + 5)(2x + 1)
= 3x.2x + 3x.1 + 5.2x + 5.1
= 6x2 + 3x + 10x + 5
= 6x2 + 13x + 5 (đvdt)
Diện tích hình chữ nhật nhỏ màu trắng bên trong là:
(x + 3)(x + 1)
= x.x + x.1 + 3.x + 3.1
= x2 + x + 3x + 3
= x2 + 4x + 3 (đvdt)
Diện tích phần được tô màu xanh là:
(6x2 + 13x + 5) – (x2 + 4x + 3)
= 6x2 + 13x + 5 – x2 – 4x – 3
= (6x2 – x2) + (13x – 4x) + (5 – 3)
= 5x2 + 9x + 2 (đvdt)
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 13. Cho B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6). Chọn kết luận đúng.
A. B ⁝ 10 với mọi m ∈ ℤ;
B. B ⁝ 15 với mọi m ∈ ℤ;
C. B ⁝ 9 với mọi m ∈ℤ;
D. B ⁝ 20 với mọi m ∈ ℤ.
Đáp án đúng là: A
Ta có B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6)
= m.m + m.6 – (1.m + 1.6) – (m.m – m.6 + 1.m – 1.6)
= m2 + 6m – m – 6 – (m2 – 6m + m – 6)
= m2 + 5m – 6 – m2 + 6m – m + 6
= (m2 – m2) + (5m + 6m – m) + (–6 + 6)
= 10m
Nhận thấy 10 ⁝ 10
Do đó 10.m ⁝ 10
Nên B ⁝ 10 với mọi giá trị nguyên của m.
Ta chọn phương án A.
Câu 14. Cho A = (3x + 7)(2x + 3) – (3x – 5)(2x + 11)
Và B = x(2x + 1) – x2(x + 2) + x3 – x + 3.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. A = B;
B. A = 25B;
C. A = 25B + 1;
D. A = 2B.
Đáp án đúng là: C
A = (3x + 7)(2x + 3) – (3x – 5)(2x + 11)
= 3x.2x + 3x.3 + 7.2x + 7.3 – (3x.2x + 3x.11 – 5.2x – 5.11)
= 6x2 + 9x + 14x + 21 – (6x2 + 33x – 10x – 55)
= 6x2 + 23x + 21 – 6x2 – 33x + 10x + 55
= (6x2 – 6x2) + (23x – 33x + 10x) + (21 + 55)
= 76
B = x(2x + 1) – x2(x + 2) + x3 – x + 3
= x.2x + x – (x2.x + 2x2) + x3 – x + 3
= 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + 3
= (–x3 + x3) + (2x2 – 2x2) + (x – x) + 3
= 3
Từ đó ta có A = 76; B = 3
Mà 76 = 25.3 + 1 nên A = 25B + 1.
Ta chọn phương án C.
Câu 15. Tính tổng các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả của phép nhân (x2 + x + 1)(x3 – 2x + 1) ta được kết quả:
A. 1;
B. –2;
C. –3;
D. 3.
Đáp án đúng là: C
Ta có (x2 + x + 1)(x3 – 2x + 1)
= x2.x3 + x2.(–2x) + x2.1 + x.x3 + x.(–2x) + x.1 + 1.x3 + 1.(–2x) + 1.1
= x5 – 2x3 + x2 + x4 – 2x2 + x + x3 – 2x + 1
= x5 + x4 + (–2x3 + x3) + (x2 – 2x2) + (x – 2x) + 1
= x5 + x4 – x3 – x2 – x + 1
Hệ số của lũy thừa bậc ba là – 1
Hệ số của lũy thừa bậc hai là – 1
Hệ số của lũy thừa bậc nhất là – 1
Tổng các hệ số này là –1 +(–1) + (–1) = –3.
Vậy ta chọn phương án C.
2. Bài tập tự luyện
A. Bài tập tự luận
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25);
b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1).
Hướng dẫn giải
a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25)
= y2.0,5y3 + y2.2y2 – y2.y + y2.0,25
= 0,5y5 + 2y4 – y3 + 0,25y2
b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1)
= 2x.3x + 2x.1 – 3.3x – 3.1 – [x.6x – x.1 + 2.6x + 2.(–1)]
= 6x2 + 2x – 9x – 3 – 6x2 + x – 12x + 2
= (6x2 – 6x2) + (2x – 9x + x – 12x) + (– 3 +2)
= –18x – 1.
Bài 2. Một hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy là x + 3 (cm), chiều rộng đáy nhỏ hơn chiều dài đáy 5 cm và chiều cao là x + 2 (cm). Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó.
Hướng dẫn giải
Chiều rộng hình hộp chữ nhật là: x + 3 – 5 = x – 2 (cm).
Thể tích hình hộp chữ nhật là:
V = (x + 3)(x – 2)(x + 2)
= (x.x – 2.x + 3.x – 3.2)(x + 2)
= (x2 + x – 6)(x + 2)
= x2.x + x2.2 + x.x + x.2 – 6.x – 6.2
= x3 + 2x2 + x2 + 2x – 6x – 12
= x3 + 3x2 – 4x – 12
Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là: x3 + 3x2 – 4x – 12 (cm3).
Bài 3. Cho đa thức P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2, với a là một số.
a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.
Hướng dẫn giải
a) P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2
= x2.x2 – x2.x – x2.1 + 3x.x + 3x.a + 2
= x4 – x3 – x2 + 3x2 + 3ax + 2
= x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2
Vậy P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.
b) Ta có P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.
Hệ số của x4 là 1;
Hệ số của x3 là –1;
Hệ số của x2 là 2;
Hệ số của x là 3a;
Hệ số tự do là 2.
Tổng các hệ số của P(x) là:
1 + (–1) + 2 + 3a + 2 = 3a + 4.
Mà theo bài tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.
Khi đó: 3a + 4 = 10
Do đó 3a = 6
Vậy a = 2.
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tích 2x(x + 1) có kết quả bằng:
A. 2x2 + 2x;
B. 2x2 – 2x;
C. 2x + 2;
D. 2x2 – 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: 2x(x + 1)
= 2x.x + 2x.1
= 2x2 + 2x.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 2. Biết 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84. Giá trị của x là:
A. x = 4;
B. x = 4,5;
C. x = 5;
D. x = 5,5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84
Suy ra 10x − 5 − 32 + 12x = 84
10x + 12x = 84 + 5 + 32
22x = 121
x = 5,5
Vậy x = 5,5.
Ta chọn phương án D.
Câu 3. Cho B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6). Chọn kết luận đúng.
A. B ⁝ 10 với mọi m ∈ ℤ;
B. B ⁝ 15 với mọi m ∈ ℤ;
C. B ⁝ 9 với mọi m ∈ ℤ;
D. B ⁝ 20 với mọi m ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6)
= m.m + m.6 – (1.m + 1.6) – (m.m – m.6 + 1.m – 1.6)
= m2 + 6m – m – 6 – (m2 – 6m + m – 6)
= m2 + 5m – 6 – m2 + 6m – m + 6
= (m2 – m2) + (5m + 6m – m) + (–6 + 6)
= 10m
Nhận thấy 10 ⁝ 10
Do đó 10m ⁝ 10
Nên B ⁝ 10 với mọi giá trị nguyên của m.
Ta chọn phương án A.
Xem thêm các dạng bài tập Toán :
70 Bài tập về tập hợp các số hữu tỉ (có đáp án năm 2024)
60 Bài tập cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ (có đáp án năm 2024)
60 Bài tập lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ (có đáp án năm 2024)
60 Bài tập Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế (có đáp án năm 2023)
60 Bài tập làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn (có đáp án năm 2023)
