Lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $u_n\to 0$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ hay $u_n\to a$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

* Chú ý: Nếu $u_n=c$ (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=c$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b$ thì

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=a.b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$

b, Nếu $u_n\ge 0$ thì với mọi n và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

$S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $+\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to +\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $-\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-u_n\right)=+\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to -\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

*Quy tắc:

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=+\mathrm{\infty }$(hoặc$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=-\mathrm{\infty }$) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=0$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,\mathrm{\forall }n$ thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=+\mathrm{\infty }$.

ll. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;

Hướng dẫn giải

un là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = $\frac{-1}{3}$.

Tổng của cấp số nhân này là: S = $\frac{u_1}{1-q}$ = $\frac{3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{4}$.

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n3-3n+2);

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}$;

c) 

Hướng dẫn giải

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n3-3n+2) = $\underset{n\to +\infty }{\lim }$ = +$\infty$

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^3=+\infty$ và  = 2.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}}$= 2.

c) 

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{4}{9}$

Bài 3: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$. Tìm giới hạn của: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$, do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n^2=$$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(vn . un) = 5.5 = 25.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(vn - un) = 5-3 = 2.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$ = $\frac{25}{2}$.

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

$\Rightarrow u_1^2\cdot \frac{1}{1-q^2}=448$

⇒ 

Suy ra: q = $\frac{3}{4}$.

Ta tìm được: u1 = 14.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 14: Phép chiếu song song

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 4

Lý thuyết Bài 16: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 17: Hàm số liên tục

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5