Giải SGK Toán 12 (Cánh diều) Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hoạt động 2 trang 16 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x-1}$ với $x>1$.

a) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

b) Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ là:

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi $x=2$ và không có giá trị lớn nhất.

Luyện tập 2 trang 16 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y=\frac{2x-5}{x-1}$ trên nửa khoảng $(1;3]$.

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }>0\mathrm{\forall }x\in D$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$ khi $x=3$ và không có giá trị nhỏ nhất.

Hoạt động 3 trang 17 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=2x^3-6x,x\in \left[-2;2\right]$ có đồ thị là đường cong ở Hình 9.

a) Dựa vào đồ thị ở Hình 9, hãy cho biết các giá trị $M=\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(x\right);m=\underset{\left[-2;2\right]}{min}f\left(x\right)$ bằng bao nhiêu.

b) Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ với $x\in \left(-2;2\right)$

c) Tính các giá trị của hàm số $f\left(x\right)$ tại hai đầu mút $-2;2$ và tại các điểm $x\in \left(-2;2\right)$ mà ở đó $f^{\prime }\left(x\right)=0$

d) So sánh M (hoặc m) với số lớn nhất (hoặc số bé nhất) trong các giá trị tính được ở câu c

Lời giải:

a) Ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(x\right)=4\\ \underset{\left[-2;2\right]}{min}f\left(x\right)=-4\end{array}$.

b) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-6$.

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\pm 1$.

c) Ta có:$\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=f\left(-1\right)=4\\ f\left(-2\right)=f\left(1\right)=-4\end{array}$.

d) Nhận xét: $\{\begin{array}{l}\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(2\right)=f\left(-1\right)\\ \underset{\left[-2;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-2\right)=f\left(1\right)\end{array}$.

Luyện tập 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x-2x$ trên đoạn $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$.

Lời giải:

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=2\cos 2x-2$.

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\pi$.

Ta có $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\pi ,f\left(\pi \right)=-2\pi ,f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-3\pi$

Vậy hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x-2x$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-3\pi$ khi $x=\frac{3\pi }{2}$ và có giá trị lớn nhất bằng $-\pi$ khi $x=\frac{\pi }{2}$ .

Bài tập