Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x³ + 3x + 1;

b) Xét dấu y' để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

a) Ta có y' = 2x – 4; y' = 0 Û x = 2.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

b) y = x³ + 3x² – x – 1.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −2x³ + 3x² – 5x.

Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 45 (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ . Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?

Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

Cho hàm số y = x² – 4x + 3. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y' và tìm các điểm tại đó y' = 0.

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R₁ và R₂ thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 W được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu x (W) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 W.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo y nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với x ³ 1.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với t ³ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }y,\underset{x\to +\infty }{\lim }y$  và lập bảng biến thiên của hàm số.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$