Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.

a) Hãy xác định giá trị đại điện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

a) Giá trị đại diện của nhóm [5; 6) là 5,5.

Giá trị đại diện của nhóm [6; 7) là 6,5.

Giá trị đại diện của nhóm [7; 8) là 7,5.

Giá trị đại diện của nhóm [8; 9) là 8,5.

Giá trị đại diện của nhóm [9; 10) là 9,5.

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Điểm trung bình	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Giá trị đại diện	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5
Số học sinh trường A	4	5	3	4	2
Số học sinh trường B	2	5	4	3	1

b)

Ÿ Xét mẫu số liệu của trường A:

Cỡ mẫu n_A = 4 + 5 + 3 + 4 + 2 = 18.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₈ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₄ ∈ [5; 6), x₅; …; x₉ ∈ [6; 7), x₁₀; x₁₁; x₁₂ ∈ [7; 8),

          x₁₃; …; x₁₆ ∈ [8; 9), x₁₇; x₁₈ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₅ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1=6+\frac{\frac{18}{4}-4}{5}\cdot \left(7-6\right)=\mathrm{6,1}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₄ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_3=8+\frac{\frac{3\cdot 18}{4}-\left(4+5+3\right)}{4}\cdot \left(9-8\right)=\mathrm{8,375}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 8,375 – 6,1 = 2,275.

Ÿ Xét mẫu số liệu của trường B:

Cỡ mẫu n_B = 2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₅ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂ ∈ [5; 6), x₃; …; x₇ ∈ [6; 7), x₈; …; x₁₁ ∈ [7; 8),

          x₁₂; x₁₃; x₁₄ ∈ [8; 9), x₁₅ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₄ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_1=6+\frac{\frac{15}{4}-2}{5}\cdot \left(7-6\right)=\mathrm{6,35}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₂ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_3=8+\frac{\frac{3\cdot 15}{4}-\left(2+5+4\right)}{3}\cdot \left(9-8\right)=\frac{97}{12}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{97}{12}$ – 6,35 = $\frac{26}{15}\approx \mathrm{1,73}$.

Vì ∆_Q = 2,275 > ∆'_Q ≈ 1,73 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

c)

Ÿ Xét mẫu số liệu của trường A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}_A=\frac{4\cdot \mathrm{5,5}+5\cdot \mathrm{6,5}+3\cdot \mathrm{7,5}+4\cdot \mathrm{8,5}+2\cdot \mathrm{9,5}}{18}=\frac{65}{9}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A^2=\frac{1}{18}$[4 ∙ (5,5)² + 5 ∙ (6,5)² + 3 ∙ (7,5)² + 4 ∙ (8,5)² + 2 ∙ (9,5)²] – ${\left(\frac{65}{9}\right)}^2$

     = $\frac{569}{324}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_A=\sqrt{S_A^2}=\sqrt{\frac{569}{324}}\approx \mathrm{1,33}$.

Ÿ Xét mẫu số liệu của trường B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}_B=\frac{2\cdot \mathrm{5,5}+5\cdot \mathrm{6,5}+4\cdot \mathrm{7,5}+3\cdot \mathrm{8,5}+1\cdot \mathrm{9,5}}{15}=\frac{217}{30}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

[2 ∙ (5,5)² + 5 ∙ (6,5)² + 4 ∙ (7,5)² + 3 ∙ (8,5)² + 1 ∙ (9,5)²] – ${\left(\frac{217}{30}\right)}^2$

     = $\frac{284}{225}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_B=\sqrt{S_B^2}=\sqrt{\frac{284}{225}}\approx \mathrm{1,12}$.

Vì S_A ≈ 1,33 > S_B ≈ 1,12 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơ$S_B^2=\frac{1}{15}$n.