Điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết
Phương pháp giải
+ Hai vecto a→ và b→ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+ Để chứng minh hai vecto cùng phương ta có thể làm theo hai cách sau:
- Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0: a→ = k.b→
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ - b→, y→ = -4a→ + 2b→, z→ = -3b→ - 2c→. Chọn khẳng định đúng?
A. Hai vectơ y→, z→ cùng phương
B. Hai vectơ x→, y→ cùng phương
C. Hai vectơ x→, z→ cùng phương
D. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn B
+ Nhận thấy: y→ = -2x→ nên hai vectơ x→, y→ cùng phương.
Ví dụ 2: Cho u→ = 2a→ + b→ và v→ = -6a→ - 3b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?
A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương
B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng
C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng
D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương
Hướng dẫn giải
Ta có: v→ = -6a→ - 3b→ = -3(2a→ + b→)
⇒ v→ = -3u→
⇒ u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng.
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→ thì ABCD là hình thang.
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ .
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→.
D. Nếu SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ thì ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Chọn C
A. Đúng vì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→
⇔ OA→ + OB→ + 2OC→ + 2OD→ = O→
Vì O; A; C và O; B; D thẳng hàng nên đặt
B. Đúng.
Ta có:
C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD; BC thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = -1; m = - 1
⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.
Ví dụ 4: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = 2a→ - 3b→ và v→ = 3a→ - 9b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?
A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương
B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng
C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng
D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương
Hướng dẫn giải
Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→
Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:
⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.
⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chọn mệnh đề đúng?
A. Hai vecto MN→ và DD'→ là cùng phương
B. Hai vecto AM→ và B'C→ là cùng phương
C. Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương
D. Hai vecto DN→ và MA'→ là cùng phương
Hướng dẫn giải
Xét tứ giác AMCN có:
AM = CN = (1/2)BC = (1/2)AD
AM // CN
⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành
⇒ AN // MC nên Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương.
Chọn C
Ví dụ 6: : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?
A. B'B→ B. C'C→ C. AA'→ D. AB'→
Hướng dẫn giải
Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’
⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’
⇒ IJ // AA’ // CC’
⇒ AA'→ cùng hướng với vecto IJ→
chọn C
Bài tập vận dụng (có đáp án)
Câu 1: Cho hai điểm phân biệt A; B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OA→ + OB→
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = kBA→
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = kOA→ + (1-k)OB→
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = k(OB→ - OA→)
Lời giải:
Chọn C
Câu 2: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = a→ - 2b→ và v→ = 3a→ - 5b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?
A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương
B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng
C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng
D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương
Lời giải:
Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→
Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:
⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.
⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.
Chọn D
Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M; N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số MN/BD' bằng?
A. (1/3) B. (1/2) C. 1 D. (2/3)
Lời giải:
Chọn A
Vậy các điểm M; N được xác định bởi
Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?
A. GG'→ B. GA'→ C. AG'→ D. AB'→
Lời giải:
Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’
⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’
⇒ IJ // AA’ // CC’
+ Do G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên GG’// BB’// IJ
⇒ vecto IJ→ cùng hướng với vecto GG'→.
Chọn A
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, SB, AB và AC. Tìm mệnh đề đúng?
A. Hai vecto NM→ và BC→ cùng phương và ngược hướng
B. Hai vecto PQ→ và BC→ cùng phương và ngược hướng
C. Hai vecto PQ→ và NM→ cùng phương và ngược hướng
D. Hai vecto QP→ và NM→ cùng phương và ngược hướng .
Lời giải:
+ Xét tam giác SBC có M và N lần lượt là trung điểm của SC và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.
⇒ MN // BC. (1)
+ Xét tam giác SAB có P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PQ là đường trung bình của tam giác SAB.
⇒ PQ // BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN // PQ.
⇒ Hai vecto QP→ và NM→ cùng phương và ngược hướng .
Chọn D
Câu 6: Cho 
. Tìm m để hai vecto 
cùng phương.
Hướng dẫn giải:
Để hai vecto cùng phương 
tồn tại số k thỏa mãn 
Từ (2) suy ra k = 2 thay vào (1) ta được:
Vậy m = -1 và m = 2 thì hai vecto cùng phương.
Câu 7: Cho hai vecto 
. Tìm m để hai vecto 
cùng phương.
Hướng dẫn giải:
Ta có 
là các vecto đơn vị với 
Suy ra 
Hai vecto cùng phương 
Vậy m = 
thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 8: Cho tam giác ABC có E là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, J, K lần lượt là các điểm thỏa mãn 
. Tìm m để A, K, D thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Ba điểm A, K, D thẳng hàng tồn tại k để 
(1)
Ta phân tích các vecto 
theo hai vecto 
+ E là trung điểm của BC 
Suy ra 
Ta có
Do đó 
(2)
+ Lại có: I là trung điểm AB 
Ta có: 
Do đó 
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
Vậy m = 
thì ba điểm A, K, D thẳng hàng.
Câu 9: Cho hai vecto 
. Giá trị của m để hai vecto cùng phương là:
Hướng dẫn giải:
Ta có và là các vecto đơn vị với 
Suy ra 
Hai vecto 
cùng phương tồn tại k để 
Vậy m = 
.
Đáp án D
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(m-1; 2); B(2; 5-2m) và C(m-3; 4). Giá trị của m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là
A. m = 3
B. m = 2
C. m = -2
D. m = 1
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
= (2 - m + 1;5 -2m - 2) = (3 - m;3 - 2m)
= (m - 3 - m + 1;4 - 2) = (-2;2)
Ba điểm A, B, C thẳng hàng tồn tại k sao cho 
Vậy m = 2 thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Đáp án B
Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:
80 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án năm 2023)
80 Bài tập về vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2024)
90 Bài tập tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án năm 2023)
80 Bài tập số gần đúng và sai số (có đáp án năm 2023)
80 Bài tập các số đặc trưng đo độ phân tán (có đáp án năm 2023)
