y = |x^3 - 3x^2 + m| với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

Đề bài: y = |x^3 - 3x^2 + m| với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của tập S là.

Trả lời

Lời giải:

  Ta có: $y=\left|x^3-3x^2+m\right|=\sqrt{{(x^3-3x^2+m)}^2}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{(x^3-3x^2+m)(3x^2-6x)}{\sqrt{{(x^3-3x^2+m)}^2}}.$

Để đồ thị hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình: y' = 0 có 5 nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với $(x^3-3x^2+m)(3x^2-6x)=0.$  Đặt $g\left(x\right)=(x^3-3x^2+m)=0$  phải có 3 nghiệm phân biệt khác 0 và 2.

Ta có: $-x^3+3x^2=m,$  tức là ta cần đi tìm giá trị của m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=-x^3+3x^2$  tại 3 điểm phân biệt.

Do đó ta khảo sát hàm số $f\left(x\right)=-x^3+3x^2$  thì ta có được:

$-4+m<0<m\iff 0<m<4$

Vậy S$=\text{{}1;2;3\},$ tổng tất cả các giá trị của S là 6.