Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó$\left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y\\ y^{\text{'}}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\end{array}\right.$

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Lấy hai điểm bất kì M(x1; y1) và N(x2; y2).

Suy ra $MN=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$.

Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình h là $M^{\text{'}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_1-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_1;\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_1\right)$ và $N^{\text{'}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_2;\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_2\right)$.

Khi đó

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_1\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_1-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_1\right)}^2$

         $=\sqrt{\frac{1}{2}{\left(x_2-y_2-x_1+y_1\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(x_2+y_2-x_1-y_1\right)}^2}$

         $=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{{\left[\left(x_2-x_1\right)-\left(y_2-y_1\right)\right]}^2+{\left[\left(x_2-x_1\right)+\left(y_2-y_1\right)\right]}^2}$

         $=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2{\left(x_2-x_1\right)}^2+2{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ (khai triển bình phương)

         $=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2{\left(x_2-x_1\right)}^2+2{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

         = MN.

Vậy h là một phép dời hình.