Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0). Biết tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm gấp đôi độ dài trục bé (2b) và có tiêu cự bằng $4\sqrt{3}.$ Phương trình chính tắc của elip đó l

A. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

B. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a, độ dài trục bé là 2b.

Theo bài, 2a = 2.2b, do đó a = 2b.

Mà elip có tiêu cự bằng $4\sqrt{3},$ nên ta có $2c=4\sqrt{3}$ suy ra $c=2\sqrt{3}$

Ta có c² = a² – b² nên ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2={\left(2b\right)}^2-b^2$ hay 3b² = 12 nên b = 2 (do b > 0).

Suy ra a = 2b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$