Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 9. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C'

Trả lời

Lời giải:

Ta có (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 9 hay (x – 1)² + [y – (– 2)]² = 3².

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 3.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 nên I' là ảnh của I qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 và R' = |– 2|.R = 2 . 3 = 6.

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(O, – 2)} nên \(\overrightarrow {OI'} = - 2\overrightarrow {OI} \).

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = - 2{x_I} = - 2.1 = - 2\\{y_{I'}} = - 2{y_I} = - 2.\left( { - 2} \right) = 4\end{array} \right.\] nên I'(– 2; 4).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

[x – (– 2)]² + (y – 4)² = 6² hay (x + 2)² + (y – 4)² = 36.