Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – y = 0 và cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ điểm M’ = Đ_d(M).

Trường hợp 1: M ∈ d.

Khi đó M = Đd(M).

Vì vậy M’ ≡ M.

Do đó M’(x0; y0).

Trường hợp 2: M ∉ d.

Theo đề, ta có M’ = Đd(M).

Suy ra d là đường trung trực của đoạn MM’, do đó d ⊥ MM’.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$.

Vì vậy MM’ nhận ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình MM’: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+t\\ y=y_0-t\end{array}\right.$

Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

Suy ra H là trung điểm MM’ và tọa độ H(x0 + t; y0 – t).

Ta có H ∈ d.

Suy ra x0 + t – y0 + t = 0.

⇔ $t=\frac{y_0-x_0}{2}$.

Do đó tọa độ $H\left(\frac{x_0+y_0}{2};\frac{x_0+y_0}{2}\right)$.

Ta có H là trung điểm MM’.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2x_H-x_M=2.\frac{x_0+y_0}{2}-x_0=y_0\\ y_{M^{\text{'}}}=2y_H-y_M=2.\frac{x_0+y_0}{2}-y_0=x_0\end{array}\right.$

Do đó tọa độ M’(y0; x0).

Vậy $\left\{\begin{array}{l}{M}^{\text{'}}\left(x_0;y_0\right)khiM\in d\\ M^{\text{'}}\left(y_0;x_0\right)khiM\notin d\end{array}\right.$.