Bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).
a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.
b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.
c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ có độ dài ngắn nhất.
a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.
Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:
Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: và là hai vectơ cùng phương
Vậy là điểm cần tìm.
b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành
Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB
Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB
Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox
3 điểm A, E, B thẳng hàng
và là hai vectơ cùng phương
Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.
Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:
• = (3; 4)
• = (b – 2; 1)
Khi đó và là hai vectơ cùng phương
Vậy là điểm cần tìm.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:
Với điểm F bất kì ta có:
Để vectơ có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất
Mà F là điểm nằm trên trục tung
Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.
Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y =
Vậy
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ