Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho với A(1; 0; 0), B(3; 2; 4), C(0; 5; 4

Đề bài: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho với A(1; 0; 0), B(3; 2; 4), C(0; 5; 4). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |vector MA + vector MB + 2vector MC| nhỏ nhất.

A. M(1; 3; 0).

B. M(1; −3; 0).

C. M(3; 1; 0).

D. M(2; 6; 0).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

+ Ta tìm điểm I(a; b; c) thỏa mãn

$\overrightarrow{\text{IA}}\text{ + }\overrightarrow{\text{IB}}\text{ + 2}\overrightarrow{\text{IC}}$

Hay $\left\{\begin{array}{c}\text{1 - a + 3 - a - 2a = 0}\\ \text{-b + 2 - b + 2(5 - b) = 0}\\ \text{-c + 4 - c + 2(4 - c) = 0}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=3\\ c=3\end{array}\right.\Rightarrow \text{I}\left(\text{1; 3; 3}\right)$

+ Khi đó: $\left|\overrightarrow{\text{MA}}\text{ + }\overrightarrow{\text{MB}}\text{ + 2}\overrightarrow{\text{MC}}\right|\text{ = }\left|\text{4}\overrightarrow{\text{MI}}\right|\ge \text{4IH}$

với H là hình chiếu của I trên  (Oxy) và H(1; 3; 0)

Do đó $\text{min}\left|\overrightarrow{\text{MA}}\text{ + }\overrightarrow{\text{MB}}\text{ + 2}\overrightarrow{\text{MC}}\right|\text{ = 4IH = 12}$

khi  $H\equiv M$ hay M(1;3;0)

Đáp án cần chọn là: A