+ Gọi tâm mặt cầu là I ( a;b;c).

+ Mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ nên $\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|=R\left(1\right)$

+ Vì hai điểm A( 1;2;3) và B( 2;3;4) có tọa độ dương và đoạn $A B$ luôn nằm trong (S) nên $a=b=c=R$

$+\Rightarrow I(R;R;R)$.

+ Đoạn AB luôn nằm trong

$\left(S\right)\leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}IA<R\\ IB<R\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{(1-R)}^2+{(2-R)}^2+{(3-R)}^2<R^2\\ {(2-R)}^2+{(3-R)}^2+{(4-R)}^2<R^2\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2R^2-12R+14<0\\ 2R^2-18R+29<0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}3-\sqrt{2}<R<3+\sqrt{2}\\ \frac{9-\sqrt{23}}{2}<R<\frac{9+\sqrt{23}}{2}\end{array}\iff \frac{9-\sqrt{23}}{2}<R<3+\right.\right.\sqrt{2}$

+ Vì $R\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow R\in \{3;4\}$.

+ Vậy giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là 4 .