Gọi A, B, C, D là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sữ $AB=4,AC=BD=AD=BC=5.$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Dễ dàng tính được $MN=2\sqrt{3}.$ Gọi I là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính r tiếp xúc với bốn mặt cầu trên.

Vì $IA=IB,IC=ID$ nên I nằm trên đoạn MN.

Đặt $IN=x$, ta có $IC=\sqrt{3^2+x^2}=3+r,IA=\sqrt{2^2+{(2\sqrt{3}-x)}^2}=2+r\text{. }$

Từ đó suy ra $\sqrt{3^2+x^2}-\sqrt{2^2+{(2\sqrt{2}-x)}^2}=1\iff x=\frac{12\sqrt{3}}{11}\text{. }$

Vậy $r=\sqrt{3^2+{\left(\frac{12\sqrt{3}}{11}\right)}^2}-3=\frac{6}{11}.$

Chọn D