Tìm tất cả các giá trị của $m\in ℝ$  để hàm số $y=\sin x+\cos x+mx$  đồng biến trên R.

Tập xác định $D=ℝ$ .

Ta có  $y^{\text{'}}=\cos x-\sin x+m$

Hàm đồng biến trên  $ℝ\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in ℝ\iff \cos x-\sin x+m\ge 0,\forall x\in ℝ$

 $\iff \sin x-\cos x\le m,\forall x\in ℝ$

Xét hàm $f\left(x\right)=\sin x-\cos x$  trên  R

Ta có $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\Rightarrow -\sqrt{2}\le f\left(x\right)\le \sqrt{2},\forall x\in ℝ\Rightarrow \underset{ℝ}{max}f\left(x\right)=\sqrt{2}$

Do đó  $f\left(x\right)\le m,\forall x\in ℝ\iff \underset{ℝ}{max}f\left(x\right)\le m\iff m\ge \sqrt{2}$

Chọn C.