Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^4 + ( m^2 - 4)x^2 + 1 - m có một điểm cực trị A. ( - vô cùng ; - 2) ( 2; + vô cùng) B. [ - 2;2] C. ( - vô cùng ; - 2] [ 2;
38
04/05/2024
Tìm tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + 1 - m\) có một điểm cực trị
A. \[\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\].
B. \[\left[ { - 2;2} \right]\].
C. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
D. \(\left( { - 2;2} \right)\).
Trả lời
Lời giải
Chọn C
Ta có \(y' = 4{x^3} + 2\left( {{m^2} - 4} \right)x = 2x\left( {{x^2} + {m^2} - 4} \right)\)
Hàm số đã cho là hàm số trùng phương nên có đúng một cực trị khi \(y' = 0\) có một nghiệm.
Hay \(2x\left( {{x^2} + {m^2} - 4} \right) = 0\)có đúng một nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m \ge 2\end{array} \right.\).
Chú ý:
+ Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đúng một cực trị khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab \ge 0\\{a^2} + {b^2} > 0\end{array} \right..\) \(\left( 1 \right)\)
Đặc biệt: Hàm số trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)có đúng một cực trị khi và chỉ khi \(ab \ge 0\).
+ Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có ba cực trị khi và chỉ khi \(ab < 0.\) \(\left( 2 \right)\)
