Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A=\sqrt{x-2}+2\sqrt{x+1}+2019-x$  .

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

Đưa về dạng $m-A^2\le m$

Dấu = xảy ra khi $A=0$ .

Cách giải:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A=\sqrt{x-2}+2\sqrt{x+1}+2019-x$  .

Với điều kiện:$x\ge 2$  ta có:

$$\begin{gathered} 2A=2\left(\sqrt{x-2}+2\sqrt{x-1}+2019-x\right) \\ \iff 2A=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{x-1}+4038-2x \\ \iff 2A=4042-\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)-\left(x+1-4\sqrt{x+1}+4\right) \\ \iff 2A=4042-{\left(\sqrt{x-2}-1\right)}^2-{\left(\sqrt{x+1}-2\right)}^2 \end{gathered}$$

Vì ${\left(\sqrt{x-2}-1\right)}^2\ge 0;{\left(\sqrt{x+1}-2\right)}^2\ge 0$  với mọi $x\ge 2$

$\Rightarrow 2A\le 4042\Rightarrow A\le 2021$

$\Rightarrow \max A=2021\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-2}-1=0\\ \sqrt{x+1}-2=0\end{array}\right.\iff x=3$ (thỏa mãn ĐK $x\ge 2$ ).