Số giá trị nguyên của tham số m [ - 10;10] để bất phương trình 4sin ^2x - 4cos x nhỏ hơn bằng 4m^2 - 4m + 5 nghiệm đúng với mọi x thuộc [ 0; pi] là A. 21 B. 20 C. 17 D. 18
32
26/04/2024
Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\cos x \le 4{m^2} - 4m + 5\)nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) là
A. \(21.\)
B. \(20\).
C. \(17\).
D. \(18\).
Trả lời
Lời giải
Chọn A
\(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x - 4\cos x = - 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 4\)
Đặt \(t = c{\rm{os}}x\) ,\(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\)
\(f\left( t \right) = - 4{t^2} - 4t + 4\)\(f'\left( t \right) = - 8t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
|
\(t\)
|
\( - 1\)
|
|
\( - \frac{1}{2}\)
|
|
\(1\)
|
|
\(f'\left( t \right)\)
|
|
|
\( + \)
|
\(0\)
|
\( - \)
|
|
|
|
\(f\left( t \right)\)
|
|
|
\(5\)
|
|
|
|
\(4\)
|
|
|
|
\( - 4\)
|
Khi đó :
\(4{m^2} - 4m + 5 \ge f\left( t \right)\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 5 \ge 5\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 10;0} \right] \cup \left[ {1;10} \right]\)
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên có 21 giá trị thỏa mãn .
